파라메트릭 식별. 식별 문제와 해결 방법. 확률론적 객체의 파라메트릭 식별
선형 객체의 파라메트릭 식별
강의 목적:
선형 객체(정적 및 동적 결정론적 객체)의 매개변수 식별 방법을 연구합니다.
우리는 선형 객체 또는 충분한 근사치를 통해 선형으로 오인될 수 있는 객체를 고려합니다. 파라메트릭의 경우 모델은 식별 프로세스 중에 평가해야 하는 매개변수 세트로 정의됩니다. 잔여 함수를 최소화하는 절차를 이해하기 위해 먼저 정적 결정론적 사례를 고려해 보겠습니다.
14.1 정적 결정론적 선형 모델
n개의 입력과 m개의 출력을 갖는 선형 플랜트 모델은 독특한 구조를 가지며 선형 대수 방정식 시스템으로 설명됩니다.
m(n+1)개의 계수 c ij , i =1,..., m이 식별됩니다. j = 0,…, n.
벡터 형식에서 이 시스템은 다음 형식을 갖습니다.
어디 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2, ,…, 엑스 N ) - 입구; 와이 = (와이 1 , 와이 2, ,…, 와이 N ) - 출구; C 0 = (c 10 , ..., cm 0);
객체에 대한 정보는 (X j , Y j k ), k =1,…,m, 의 형태로 표현될 수 있습니다.
C0와 C가 식별됩니다.
n>1, m=1인 경우를 생각해 봅시다. m>1인 경우는 고려 중인 경우의 m배 반복으로 축소됩니다.
그래서, 
또는
(n+1) 알려지지 않은 계수는 정보 (X j , Y j ), j =1,…,N을 기반으로 추정됩니다. 여기서 X j =(x 1 j , x 2 j , …, x nj) - j-e 입력 상태, Y j – 이 입력에 대한 반응.
이 문제를 해결하는 일반적인 접근 방식은 객체와 모델의 출력을 동일시하는 것입니다.
,
(14.1)
(n+1)개의 미지수(식별 방정식 시스템)로 N개의 방정식을 얻었습니다. 이 시스템은 행렬의 순위가 다음과 같은 경우 고유한 솔루션을 제공합니다.
|
(14.2)
이는 이 행렬의 (n+1)개의 선형 독립 행이 발견된 경우 가능합니다. 따라서 N 쌍 중에서 (n+1)개의 선형 독립 행을 선택해야 합니다.
이 경우 솔루션(14.1)은 식별된 매개변수의 정확한 값을 결정합니다(객체가 실제로 선형인 경우).
그러나 이 방법은 원본 정보를 모두 사용하지는 않습니다. 그것을 사용하자. 불일치를 소개하겠습니다.
지역적 불일치는 어디에 있습니까? 
(i 번째 쌍에서).
매개변수 C를 추정하는 문제는 이제 잔차를 최소화하는 문제(14.3)로 표현될 수 있습니다. 즉, 선형 대수 방정식 시스템으로 축소됩니다.
(14.4)
순위(14.2)가 (n+1)과 같은 경우 이 시스템의 행렬식은 0이 아닙니다.
시스템 (14.1)과 (14.4)의 해는 일치합니다. 특히 (14.1)에는 (n+1)개의 포인트만 필요하므로 이 더 복잡한 방법을 사용하는 이유는 무엇입니까? 나머지N – (n+1) 점이 왜 그렇습니까? 객체가 실제로 결정적이고 선형인 경우 이러한 점은 필요하지 않으며 두 번째 방법을 사용해서는 안 됩니다. 그러나 객체가 거의 선형일 가능성이 있습니다. 그런 다음 두 지점을 기반으로 매우 대략적인 모델을 얻습니다. 두 번째 방법은 물체를 "똑바르게" 하는 것 같습니다.
시스템의 순위(14.4)가 (n+1)보다 낮으면 어떻게 되나요? 이 경우:
1. 측정을 반복합니다(처음에는 시스템 상태가 충분히 다양하지 않았을 수도 있습니다). 다시 작동하지 않으면 모델의 구조를 변경하십시오.
2. 식별된 매개변수의 수를 줄입니다. 즉, 입력 중 하나(예: 거의 변하지 않는 입력)의 고려를 제외합니다. 그리고 순위(14.2)가 해당 차원과 일치할 때까지 .
친애하는 독자 여러분. 현재 동적 시스템의 식별 프로세스에 많은 관심이 집중되고 있습니다. 이 주제에 관해 많은 논문, 졸업장 및 과학 출판물이 작성되었습니다. 식별에 관한 다양한 문헌에 많은 내용이 기록되어 있으며 다양한 모델과 방법이 제공됩니다. 그러나 이 모든 것이 일반인에게는 즉시 명확해지지 않습니다. 이 기사에서는 최소 제곱법을 사용하여 기술 시스템(객체)을 미분 방정식 시스템으로 설명할 때 매개변수 식별 문제를 해결하는 방법을 설명하려고 합니다.약간의 이론
먼저 그것이 무엇인지 이해해야합니다. 동적 시스템. 최대한 간단하게 말하면 시간이 지남에 따라 매개변수가 변경되는 시스템입니다. 자세히 읽어보세요. 거의 모든 동적 시스템은 다음과 같은 차수의 미분 방정식으로 설명할 수 있습니다.이 미분 방정식 시스템은 매개변수로 특징지어집니다. 우리의 경우는 ㅏ, 비, 씨그리고 디. 정적이거나 동적일 수 있습니다.
이 계수는 무엇을 의미합니까?
실제 물리적 동적 시스템과 관련하여 미분 방정식의 이러한 계수는 특정 물리적 연결을 갖습니다. 예를 들어, 우주선의 방향 및 안정화 시스템에서 이러한 계수는 우주선의 정적 안정성 계수, 온보드 제어 효율성 계수, 궤도 변경 능력 계수 등 다양한 역할을 할 수 있습니다. 자세히 읽어보세요.
그럼 과제는 이렇습니다 파라메트릭 식별이는 동일한 매개변수 계수를 결정하는 것입니다. ㅏ, 비, 씨그리고 디.
관찰 및 측정 업무
파라메트릭 식별 문제를 해결하려면 하나(또는 모든) 위상 좌표(이 경우 x 1 및(또는) x 2)의 "측정"을 얻어야 한다는 점은 주목할 가치가 있습니다.시스템이 식별 가능하려면 관찰 가능해야 합니다. 즉, 관측 가능성 행렬의 순위는 시스템의 차수와 동일해야 합니다. 관찰 가능성에 대해 자세히 알아보세요.
객체에서 발생하는 프로세스의 관찰은 다음과 같이 발생합니다.
- ~에- 관찰된 매개변수의 벡터;
- 시간- 상태 매개변수와 관찰된 매개변수 사이의 연결 매트릭스
벡터와 행렬에 대한 추가 정보
위에서 설명한 동적 시스템은 벡터 행렬 형식으로 표현될 수 있습니다.
어디:
- 간섭 성분.
물체에서 일어나는 과정의 측정은 다음과 같이 설명됩니다.
보시다시피 측정 오류는 덧셈(첫 번째 경우) 또는 곱셈(두 번째)일 수 있습니다.
식별 문제
하나의 계수를 알 수 없는 경우의 매개변수 식별 문제를 해결해 보겠습니다. 구체적인 예로 넘어가겠습니다. 다음 시스템이 주어집니다.매개변수가 동일함을 알 수 있다. b = 1, c = 0.0225그리고 d = -0.3. 매개변수 ㅏ우리에게 알려지지 않았습니다. 최소제곱법을 사용하여 추정해 보겠습니다.
작업은 다음과 같습니다. 샘플링 간격으로 출력 신호의 사용 가능한 샘플 관찰 데이터를 기반으로 합니다. Δt모델과 실제 데이터 사이의 기능적 불일치의 최소값을 보장하는 매개변수의 값을 추정하는 것이 필요합니다.
연구 대상 개체의 출력과 개체의 수학적 모델에서 계산된 반응 간의 차이로 정의되는 불일치는 어디에 있습니까?
불일치는 모델 구조의 부정확성, 측정 오류, 환경과 물체 사이의 설명되지 않은 상호 작용으로 구성됩니다. 그러나 발생하는 오류의 성격에 관계없이 최소제곱법이산형 값에 대한 2차 잔차의 합을 최소화합니다. 원칙적으로 OLS는 소음에 대한 사전 정보를 요구하지 않습니다. 그러나 얻은 추정값이 원하는 특성을 갖기 위해서는 잡음이 백색 잡음과 같은 무작위 과정이라고 가정하겠습니다.
기준을 최소화하는 최소 제곱 추정기 제이는 최소 기능의 존재 조건에서 발견됩니다.
OLS 추정의 중요한 속성은 전역 최소값과 일치하는 단 하나의 지역 최소값이 존재한다는 것입니다. 따라서 평가는 독특합니다. 그 값은 함수의 극한 조건에 따라 결정됩니다. 제이:
즉, 함수의 미분을 취하는 것이 필요합니다. ㅏ 0으로 설정합니다.
이는 위상 좌표 및(또는)의 "측정된" 값이며 위상 좌표 및(또는) 물체의 수학적 모델에서 계산됩니다. 그러나 미분 방정식 시스템의 형태로 제시된 객체 모델에서는 명시적으로 표현되지 않습니다. 이러한 광기를 없애기 위해서는 주어진 초기 조건으로 이 미분방정식 시스템을 풀어야 합니다.
수동으로 또는 소프트웨어를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다. MatLab의 솔루션은 아래와 같습니다. 결과는 각 순간에 대한 대수 방정식 시스템이어야 합니다.
그런 다음 "측정된" 위상 좌표 값 대신에 각 순간에 대한 매개변수 추정치를 찾습니다.
위상 좌표의 "측정된" 값은 어디서 얻을 수 있나요?
일반적으로 이러한 값은 실험에서 가져옵니다. 그러나 우리는 어떤 실험도 수행하지 않았기 때문에 Runge-Kutta 방법 4-5 차를 사용하여 미분 방정식 시스템의 수치 해법에서 이러한 값을 가져옵니다. 매개변수를 선택하자
MatLab 패키지에 내장된 기능을 사용하여 솔루션을 찾아보겠습니다. 자세히 읽어보세요. 이 방법을 사용한 솔루션은 아래와 같습니다.
%는 변수 유형을 나타냅니다.
기호 x(t) y(t) a
% 주어진 초기 조건에서 시스템을 푼다.
S = dsolve(diff(x) == a*x + 1*y,"x(0)=20", diff(y) == 0.0225*x - 0.3*y,"y(0)=20") ;
% 우리는 방정식에 있기 때문에 첫 번째 위상 좌표의 해를 선택합니다.
%에는 필수 매개변수가 포함되어 있습니다.
x(t) = Sx;
% 매개변수 a에 대한 첫 번째 방정식의 편도함수를 찾습니다.
최소제곱법에 따른 %)
f=diff(x(t),"a");
% 이제 결과 표현식을 조금 단순화해 보겠습니다.
S1=단순화(f);
% 변수 t를 값의 배열 T로 설정
t=T;
% 각 순간에 대한 매개변수 a를 포함하는 표현식을 찾습니다.
SS=평가(S1);
%는 이제 루프에 있으며 "측정된" 값을 각 표현식으로 대체합니다.
첫 번째 위상 좌표의 %, 각 순간에 대한 매개변수 a를 결정합니다.
% 시간 T. SDE 솔루션에서 "측정된" 위상 좌표 값을 가져옵니다.
4차 Runge-Kutta 방법을 사용한 %
i=2:81의 경우
SSS(i)=solve(SS(i)==X(i,1),a);
끝
ist=zeros(length(T),1);
ist(1:길이(T))=-0.7;
수치; 줄거리(T,SSS,"b--",T,ist,"r-");
legend("매개변수 a의 추정치","참값");
그리드 온;
차트에서 파란색 점선선은 모수 추정치를 나타냅니다. 빨간색 고체이 선은 모델 매개변수의 "참" 값을 직접 나타냅니다. 약 3.5초 후에 프로세스가 안정화되는 것을 볼 수 있습니다. 모수 추정치와 "참" 값 사이의 작은 불일치는 Runge-Kutta 방법을 사용하여 미분 방정식 시스템을 풀 때 발생하는 오류로 인해 발생합니다.
디지털 컴퓨터는 제어 품질이나 컨트롤러의 특성을 향상시키기 위해 객체에서 얻은 정보를 사용할 수 있는 큰 기회를 열었습니다. 조정 프로세스의 효율성에 대한 정보의 분석 및 처리를 기반으로 시스템 매개변수의 자동 조정이 실현되는 적응형 자체 조정 시스템이 널리 보급되었습니다.
쌀. 9.1. 적응 제어 시스템의 일반 다이어그램(r, u - 입력, - 매개변수).
첫 번째 블록은 실제 개체이며 정확한 설명은 알 수 없습니다. 두 번째 블록은 이에 대한 다소 정확한 설명이고, 세 번째 블록은 제어 법칙입니다.
모델(두 번째 블록)은 대략적인 것이며 시간이 지남에 따라 개체가 변경됩니다. 모델을 개선하는 것을 식별(정확도 향상)이라고 합니다. 신분증에는 2가지 측면이 있습니다.
구조적;
파라메트릭.
구조 식별은 모델 구조를 실제 구조에 더 가깝게 만들어 객체를 가장 잘 반영하는 것을 의미합니다. 물체는 매우 다를 수 있으므로(기계적, 환경적 등), 구조적 식별을 위한 공식적인 방법을 생각해내는 것은 불가능합니다.
네 번째 블록(그림 9.1)은 매개변수 식별을 반영합니다. 파라메트릭 식별은 모델의 정확도를 높이기 위해 모델 매개변수 값을 개선하는 것입니다. 정확성은 항상 예측된 것과 우리가 얻는 것 사이의 차이로 이해됩니다.
다섯 번째 블록(그림 9.1)은 컨트롤러 매개변수를 조정합니다.
적응이란 컨트롤러의 매개변수를 조정하고 자체 학습하는 것을 의미합니다. 컨트롤러 매개변수는 개체 매개변수에 따라 달라지며 일반적으로 개체 매개변수를 통해 표현됩니다. 처음에는 물체의 매개변수가 항상 충분한 정확도로 알려져 있지 않거나 시간에 따라 "부동"하는 것이 아니기 때문에 적응에 의존해야 합니다. 따라서 적응(컨트롤러의 특성 변경)은 일반적으로 입력 및 출력 수량 측정 결과를 기반으로 개체의 특성을 명확하게 하는 절차(식별이라고 함)가 선행됩니다. 식별 및 적응 문제는 디지털 컨트롤러 리소스의 급속한 증가와 비용 감소로 인해 지난 25~30년 동안 극적으로 발전했습니다.
상수 매개변수를 사용하는 시스템과 적응형 시스템의 주요 차이점은 변화하는 외부 조건에 자동으로 적응할 수 있고 컨트롤러를 조정하여 학습할 수 있다는 것입니다. 레귤레이터를 조정하는 방법에는 크게 두 가지가 있습니다.
물체의 변화하는 동적 특성이 측정된 외부 요인에 의해 제어 가능하고 물체의 매개변수에 따라 컨트롤러를 조정하는 방법을 알고 있는 경우 직접 조정 방법 또는 개방 루프 적응을 사용할 수 있습니다.
쌀. 9.2. (A - 어댑터, P - 조절기, O - 물체).
물체의 특성을 직접 측정하고 평가할 수 없는 경우에는 피드백이 포함된 폐쇄 루프 적응이 사용됩니다. 이 경우 객체의 동작이 아니라 컨트롤러의 구조와 매개변수를 제어하는 두 번째 제어 루프가 시스템에 도입됩니다.
적응형 피드백 컨트롤러는 자체 안정화 컨트롤러와 참조 모델 컨트롤러라는 두 가지 클래스로 나눌 수 있습니다.
자체 조정 시스템에는 객체의 매개변수를 지속적으로 결정하는 식별자와 주어진 최적성 기준에 따라 객체 매개변수의 현재 값을 조정기의 기준이 되는 값과 비교하는 조정기 수정기가 있습니다. 운영하고 규제 기관의 특성을 변경하기로 결정하고 이 결정을 구현합니다.
이 시스템에서는 다음 단계로 구분할 수 있습니다.
1. 객체 또는 시스템 전체를 식별합니다.
2. 레귤레이터 보정 계산.
3. 레귤레이터의 수정(튜닝), 구조 변경.
항공기 시스템 식별
관찰 결과에 기초한 모델의 형성과 그 특성에 대한 연구는 본질적으로 과학의 주요 내용입니다. 모델("가설", "자연법칙", "패러다임" 등)은 다소 형식화될 수 있지만 모두 관찰 내용을 특정한 일반적인 그림으로 연결한다는 주요 특징을 가지고 있습니다. 행동에 대한 관찰 데이터를 기반으로 동적 시스템의 수학적 모델을 구축하는 문제를 해결하는 것이 식별 이론의 주제이며, 이를 통해 일반 과학 방법론의 요소가 됩니다. 그리고 우리는 동적 시스템으로 둘러싸여 있기 때문에 시스템 식별 방법은 폭넓게 적용됩니다. 이 섹션의 목적은 다음과 같습니다. 사용 가능한 식별 방법, 이론적 근거, 속성 및 적용에 대한 최소한의 아이디어를 제공합니다.
동적 시스템
느슨하게 말하면, 시스템은 서로 다른 유형의 변수 간에 상호 작용이 발생하고 관찰 가능한 신호가 형성되는 개체입니다.
우리가 관심을 갖고 있는 관찰 가능한 신호를 일반적으로 출력 신호라고 합니다. 다른 모든 신호는 입력 신호 및 교란이라고 하며, 교란은 직접 측정되는 신호와 출력 신호에 미치는 영향을 통해 간접적으로만 평가할 수 있는 신호의 두 가지 클래스로 나눌 수 있습니다.
그림 3.2 선박의 수평 이동 그림. 3.3 조향 역학 시스템
평면(스티어링 휠에 대한 δ 명령, 제어(δ-입력 신호, ψ-출력)
ψ - 방향 각도) 신호, υ - 측정되지 않은 간섭)
쌀. 3.4. 선박 조향 역학 시스템의 입출력 데이터(측정 간격 -10초)
예 선박 제어 역학.
선박의 움직임은 프로펠러의 견인력에 의해 발생하며 방향타의 위치, 바람과 파도의 강도 및 방향에 따라 달라집니다. 그림을 참조하십시오. 3.2. 하위 문제로서 우리는 일정한 견인력에서 방향타 위치에 대한 선박 항로(선수 이동 방향)의 의존성이라는 특정 문제를 고려할 수 있습니다. 이 시스템은 그림 1에 나와 있습니다. 3.3. 관찰 데이터 기록은 그림 1에 나와 있습니다. 3.4. 관찰 간격은 25분이었고, 측정은 10초마다 이루어졌습니다.
시스템 식별 절차. 세 가지 주요 구성 요소
관측 데이터로부터 모델을 구축하는 데에는 세 가지 주요 구성 요소가 포함됩니다.
1. 데이터.
2. 후보 모델이 많다.
3. 관찰 데이터에 대한 테스트 모델의 적합성 정도를 평가하기 위한 규칙
이러한 각 구성 요소에 대해 설명하겠습니다.
1. 관측 데이터.입출력 데이터는 사용자가 신호 측정 목록과 순간을 결정할 수 있고 일부 입력 신호를 제어할 수 있는 대상 식별 실험 중에 기록되는 경우가 있습니다. 실험 계획의 문제
그러므로 동지는 가능한 한계를 고려하여
시스템 신호에 대해 가장 유익한 데이터를 선택합니다. 일부 경우에
어떤 경우에는 사용자가 실험 과정에 영향을 미칠 수 있는 기회를 박탈당할 수 있으며,
정상적인 작동 데이터를 기반으로 해야 합니다.
2. 많은 모델.후보 모델 세트는 다음을 통해 설정됩니다.
검색할 모델 그룹을 수정하여
가장 적합한. 의심할 바 없이 이것은 가장 중요하면서도 동시에 가장 중요한 것입니다.
신분증 확인 절차가 어려운 부분입니다. 이 단계에서는 형식에 대한 지식이
모델의 속성은 사전 지식, 엔지니어링과 결합되어야 합니다.
예술과 직관. 많은 모델은 때때로 주의 깊은 노력의 결과입니다.
견고한 모델링 후 물리 법칙 및 기타 신뢰할 수 있는 법칙을 기반으로 합니다.
아직 결정되지 않은 물리적 매개변수를 포함하는 모델이 형성됩니다.
뉴욕 가치. 또 다른 가능성은 물리적인 요인 없이
표준 선형 모델을 사용하는 근거는 누구입니까? 그들 중 다수
매개변수가 주로 변수로 간주되는 모델
사용 가능한 데이터에 맞게 모델을 조정하는 수단이며 프로세스의 물리학을 반영하지 않습니다.
~라고 불리는 블랙 박스.사용자 정의 가능한 매개변수를 갖춘 다양한 모델,
물리적 해석이 가능한 사람을 말한다. 회색 상자.
3. 관측 데이터를 기반으로 "최상의" 세트 모델 결정.
이 부분은 실제로 식별 방법.모델 품질 평가는 다음과 관련이 있습니다.
일반적으로 재생산에 사용되는 과정에서 모델의 행동을 연구합니다.
측정 데이터의 산물.
모델 확인. 식별 절차의 세 단계 모두의 결과로 우리는 적어도 암묵적인 형태로 특정 모델, 즉 다수 중 하나와 선택된 기준에 따라 관측 데이터를 가장 잘 재현하는 모델을 얻습니다.
모델이 "충분히 좋은지" 확인하는 것이 남아 있습니다. 모델이 목적을 달성하는지 여부. 이러한 테스트는 다음과 같이 알려져 있습니다. 모델 검증 절차.여기에는 관찰 데이터, 선험적 정보 및 명시된 적용 목표에 대한 모델의 적합성을 평가하기 위한 다양한 절차가 포함됩니다. 이러한 각 구성 요소에 대한 모델의 성능이 좋지 않으면 모델을 거부하게 되는 반면, 성능이 좋으면 모델에 대한 어느 정도의 신뢰도가 생성됩니다. 모델은 결코 시스템의 최종적이고 진정한 설명으로 간주될 수 없습니다. 오히려 이는 우리에게 가장 큰 관심을 끄는 시스템 동작의 측면을 합리적으로 잘 설명하는 방법으로 볼 수 있습니다.
시스템 식별 회로. 시스템 식별 절차는 다음과 같은 자연스러운 행동 논리를 생성합니다. (1) 데이터를 수집합니다. (2) 세트를 선택
모델; (3) 이 세트에서 가장 좋은 모델을 선택합니다. 그러나 꽤
쌀. 3.5. 시스템 식별 회로
이렇게 발견된 첫 번째 모델은 확인 단계에서 테스트를 통과하지 못할 가능성이 높습니다. 그런 다음 돌아가서 절차의 다양한 단계를 검토해야 합니다. 모델이 불완전한 데에는 여러 가지 이유가 있습니다.
수치적 방법은 선택된 기준에 따라 최상의 모델을 찾는 것을 허용하지 않습니다.
기준이 제대로 선택되지 않았습니다.
많은 모델이 다음과 같은 의미에서 불완전한 것으로 판명되었습니다.
일반적으로 시스템에 대한 "충분한" 설명은 없습니다.
많은 관측 데이터가 정보를 제공할 만큼 충분하지 않았습니다.
좋은 모델을 선택하기 위해서입니다.
본질적으로 식별 애플리케이션에서 가장 중요한 것은 반복적 재검토입니다.
선험적 정보를 바탕으로 이러한 모든 질문, 특히 세 번째 질문에 대한 해결책
이전 시도의 결과. 그림을 참조하십시오. 3.5.
객체의 매개변수 식별.
복잡한 기술 시스템의 모델을 구성할 때 수학적 설명의 단순성은 모델의 보편성과 객체의 모든 작동 조건에서의 적절성만큼 중요합니다.
실제 실험에서 연구 중인 시스템에 대한 선험적 정보, 시스템에서 발생하는 프로세스 및 작동 장애가 종종 식별 알고리즘의 선택과 형성되는 모델 유형을 정당화하기에 충분하지 않은 경우 문제를 해결하는 것이 좋습니다. "거친" 추정 알고리즘을 사용하는 선형 모델 클래스.
최소 제곱법을 기반으로 한 식별 알고리즘을 사용하면 다른 알고리즘에 비해 제한이 최소화되고 다양한 조건에서 신뢰할 수 있는 추정치를 얻을 수 있습니다.
선형 시스템에 대한 설명.
컴퓨터의 신호 처리는 개별적으로 수행되므로 선형 시스템과 신호를 다음을 기반으로 설명하는 것이 좋습니다. 지– 변형. 이 경우 연속 프로세스와 시스템 응답은 클록 단계를 통해 샘플링됩니다. T0. (그림 3.6 참조)
 |
k = 티 / 티 0
이산시간으로의 전환 k=t/T 0차이 방정식을 사용하여 선형 시스템의 동작을 설명할 수 있습니다.
개념을 사용하여 지– 연산자, 여기서 , 연속 링크는 매우 간단하게 표현됩니다.
일반 형식:
또는 (뒤로) 시간 영역에서:
시간 영역으로 돌아가서:
시스템의 미분 방정식:
여기서 τ는 순수 지연입니다.
따라서 전달 함수의 형식은 다음과 같습니다.
위에서 언급했듯이 작품의 수와 식별 방법의 다양성으로 인해 작품을 완전히 특성화하는 것은 거의 불가능합니다. 이러한 조건에서 합리적인 접근 방식 중 하나는 대상 방향, 즉 특정 클래스의 모델에 반영되는 객체의 속성에 대한 의존성에 따라 매개변수 식별 방법을 선택하는 것입니다. 라스트리긴 LA 예를 들어, 이 관점에서 다음과 같은 모델 분류가 제안되었습니다.
- 정적 또는 동적;
- 결정론적 또는 확률론적;
- 선형 또는 비선형;
- 연속적이거나 이산적입니다.
방법 분류의 징후
객체의 입력과 출력 사이의 연결 연산자 유형을 결정할 때 해당 속성에 따라 위의 모델 유형 중 하나 또는 이들의 조합이 선택되고, 이는 차례로 가장 적절한 방법을 선택하는 데 사용됩니다. 파라메트릭 식별의 분류는 다음 기호를 기반으로 합니다.
- 활동(수동 및 능동 방법);
- 적응성(비적응 및 적응);
- 이산성(연속적이고 이산적인, 즉 단계별).
위의 분류에서 볼 수 있듯이 모델과 방법의 가능한 조합 수는 상당히 많지만 실제 상황의 전체 다양성을 모두 포괄하지는 않지만 물론 방법 선택 과정에 특정 초점을 도입합니다. . 예를 들어, 정적, 결정론적, 선형 모델로 설명되는 객체의 식별은 동적 확률론적 비선형 모델의 경우보다 간단한 방법을 사용하여 수행됩니다. 모든 중간 사례를 고려할 수 없기 때문에 아래에서는 금속 물체와 관련하여 가장 일반적인 사례 중 일부에 대해서만 설명하겠습니다.
정적 결정론적 모델의 경우 매개변수 식별
객체의 동작이 객체의 입력과 출력을 연결하는 규칙적인 종속성에 의해 설명된다고 가정해 보겠습니다.
그런 다음 개체 모델은 일부 일반 기능도 나타내야 합니다.
먼저 입력과 출력이 있는 객체의 선형 모델의 경우를 고려해 보겠습니다. 이 모델은 가능한 유일한 구조를 가지며 선형 대수 방정식 시스템으로 설명됩니다.
계수가 식별되는 곳
알 수 없는 개체 함수는 알 수 없는 매개 변수가 있는 알려진 함수입니다.
알 수 없는 매개변수를 결정하기 위해 각 관측값에 대해 모델과 객체의 상태를 동일시합니다.
여기서 는 추정할 매개변수의 수입니다.
분석 솔루션
이러한 시스템(초월 방정식의 일반적인 경우)의 해는 선형 경우처럼 전체 불일치를 최소화하는 문제로 축소됩니다.
. (5.76) 모델 구조가 미분 함수 클래스에서 선택되면 이 문제는 미지수가 있는 방정식 시스템으로 표현됩니다.
문제에 대한 이러한 종류의 분석 솔루션은 종종 심각한 계산상의 어려움을 나타내므로 검색 최소화 방법을 사용하게 됩니다. 이를 위해 반복 프로세스가 구성됩니다. 
, 여기서 는 검색 알고리즘에 의해 결정되는 단계입니다.
올바른 알고리즘 선택을 통해 이 프로세스는 매개변수의 정확한 값, 즉 문제 해결 방법(5.76)으로 수렴되어야 합니다.
비선형 모델과 관련된 적응적 식별 방법의 특징
비선형 모델과 관련하여 적응형 식별 방법의 특징을 고려해 보겠습니다.
모델의 출력과 객체 사이의 지역적 불일치는 연속 사례의 형식을 갖습니다.
그래디언트 방법을 사용하여 사각형을 최소화하면 다음 알고리즘이 생성됩니다.
. (5.77) 여기서.
이 알고리즘을 구현한 블록 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 5.15, 그림 5.15와 비교. 5.14는 벡터를 결정하도록 설계된 기능적 변환기가 있는 경우 마지막 알고리즘이 선형 모델의 경우와 다르다는 것을 보여줍니다.
쌀. 5.15 비선형 물체의 적응식 식별 방식
적응형 단계 방법
고려된 사례는 연속 객체에 대한 적응형 식별 알고리즘에 관한 것입니다. 이제 개별 객체에 사용하는 것이 바람직한 적응형 단계 방법의 기능에 대해 살펴보겠습니다(객체 상태에 대한 정보를 얻는 개별 방법 포함). 이 경우 지역 불일치의 형식은 다음과 같습니다.
. (5.78) 반복 알고리즘은 다음 공식으로 표현됩니다.
. (5.79) 여기서.
매개변수는 알고리즘 작동 최적화를 위해 선택됩니다. 모델과 객체의 구조가 일치하는 제한적인 경우에 대해 정의해 보겠습니다.
. (5.80) 관계식 (5.80)과 매개변수 잔차 벡터에 대한 표현식을 공식 (5.78)과 (5.79)로 대체하면 일부 변환 후 식별 과정의 변화를 반영하는 방정식을 얻습니다.
그런 다음 잔차 제곱에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
이 식을 최소화하는 조건(0을 기준으로 미분하고 동일시함)에서 매개변수의 최적 값을 찾습니다.
. (5.81) 그러면 적응형 단계별 식별을 위한 최적의 알고리즘은 다음과 같은 형식을 취합니다.
. (5.82) 우리는 이 경우에 대해 정의합니다. (5.82)를 (5.78)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
즉, 각 식별 단계에서 거의 국소적인 불일치가 0으로 감소합니다.
활성 식별을 사용하면 각 단계의 벡터가 서로 직교하도록 선택됩니다.
이 경우 간섭이 있는 경우 식별 프로세스의 수렴 속도는 해당 수준에 따라 크게 달라지므로 결정론적 모델에 대해 이야기하는 경우 당연히 식별 프로세스를 단계적으로 완료해야 합니다. 이는 아래에 표시됩니다. .
확률론적 객체의 파라메트릭 식별
정적 확률론적 개체의 경우
먼저, 다음과 같이 표현될 수 있는 정적 확률론적 객체의 경우를 고려해보세요.
. (5.83) 여기서 는 객체 자체에 의해 또는 정보 수집 및 전송을 통해 생성된 무작위 요인의 벡터입니다.
쌀. 5.16 가산 간섭이 있는 물체의 다이어그램
단순화를 위해 일반 구성 요소와 무작위 구성 요소를 분리할 수 있는 즉, 다음 형식으로 표시되는 개체(그림 5.16)에 중점을 둘 것입니다.
. (5.84) 여기서
랜덤 성분의 속성은 입력에 의존하지 않는다고 가정합니다. 즉, 이는 종종 정규 법칙으로 간주되는 특정 확률 밀도에 의해 완전히 추정됩니다.
그런 다음 입력이 하나인 개체의 경우 정규 분포 밀도는 수학적 기대와 분산이라는 두 가지 매개변수로 특성화됩니다.
2차원의 경우 정상 유통법 5개의 매개변수로 특징지어짐: 2개의 평균값
; 둘 차이
. 그리고 상관 순간
.
상관관계 해제 절차
다양한 출력에 작용하는 간섭의 상관 관계가 있는 경우 여러 출력이 있는 물체를 식별하는 것이 훨씬 더 어렵습니다. 이 단점은 "상관 해제" 절차를 사용하여 극복할 수 있으며 그 의미는 다음과 같습니다.
와 를 0 평균을 갖는 상관 확률 변수로 두고, 차이, 그리고 알려진 것으로 가정되는 상관 모멘트 . 선형 변환을 통해 새로운 확률 변수를 형성합니다.
; 
.
. (5.87) 이 표현을 결정론적 사례에 대한 관계식 (5.81)과 비교하면 확률론적 개체에 대한 적응적 식별 프로세스의 수렴이 잡음의 통계적 특성에 크게 좌우된다는 것을 알 수 있습니다.
적응형 식별을 위해 이 표현식을 직접 사용하는 것은 불가능하다는 점에 유의해야 합니다. 왜냐하면 매개변수 잔차 벡터를 알 수 없기 때문입니다. 옵션원하는 알고리즘을 사용하여 평가하려는 모델입니다. 그것은 악순환으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 장애물은 로 대체하여 극복할 수 있으며 이는 평균적으로 일치하므로 차이가 있습니다. 그러면 대략 다음과 같습니다.
그리고 확률론적 객체의 적응적 식별을 위한 알고리즘은 다음과 같은 형식을 취합니다.
. (5.88)
연속 객체에 대한 수렴 문제
수동 적응 식별의 경우는 위에서 고려되었습니다. 객체에 대한 적극적인 영향의 가능성이 있는 경우 이전 벡터와 직교하는 벡터를 선택하면 프로세스의 수렴을 가속화하는 데 도움이 되지만 간섭이 있기 때문에 여전히 식별 완료를 보장할 수 없습니다. 유한한 수의 단계.
연속 객체와 방법의 경우 알고리즘 수렴 문제는 단계 방법보다 더 쉽게 해결됩니다. 벡터의 가변성이 충분하다면 여기서 수렴이 보장됩니다. 수렴률은 에 정비례하지만 그 값이 너무 크면 불안정성이 발생할 수 있다. 알고리즘의 블록 다이어그램은 그림 1에 표시된 것과 다르지 않습니다. 선형 및 비선형 모델의 경우 각각 4.14 및 5.15.
동적 모델
모수적 및 비모수적 모델
연산자에 메모리가 있는 개체를 식별하는 방법을 고려해 보겠습니다. 즉, 한 순간의 출력은 현재 입력 상태가 아니라 이전 순간의 값을 반영합니다.
객체의 파라메트릭 모델과 비파라메트릭 모델을 구별할 필요가 있습니다. 첫 번째 경우 모델식별 프로세스 중에 평가되는 일련의 매개변수(계수)에 의해 결정됩니다. 비모수적 모델일반적으로 연속함수(대부분 시간의 함수)에 의해 결정됩니다. 그러나 일부 기능 시스템에서는 포인트로 지정하거나 계열 확장 형태로 지정할 수도 있습니다. 후자의 경우 우리는 다시 파라메트릭 모델을 사용하게 됩니다.
1차원 사례에 대한 선형 파라메트릭 모델
1차원 사례에 대한 선형 매개변수 모델은 다음 형식의 상미분 방정식을 나타냅니다.
. (5.89) 종종 이것은 모델새로운 변수가 도입되는 미분 방정식 시스템의 형태로 작성하는 것이 편리합니다.
결과적으로 우리는 체계다음 형식의 방정식:
. (5.90) 벡터 형식에서는 다음과 같습니다. 모델형식은 다음과 같습니다.
입력 수가 1보다 큰 선형 매개변수 모델
선형 모델의 경우 입력 수가 1보다 크면 상태 벡터는 벡터의 합으로 구성됩니다.
벡터는 어디에 있나요? 
해당 입력 상태를 반영합니다.
그러면 여러 입력이 있는 선형 동적 시스템의 방정식은 다음과 같습니다.
식별을 위한 초기 정보는 시간 간격에 따른 객체의 입력 및 출력 상태입니다.
이전 사례와 마찬가지로 식별 문제는 객체의 함수와 관측값을 여기에 대입하여 방정식 (5.89)의 오른쪽과 왼쪽 사이의 제곱 차이 형태의 잔차 함수를 최소화하는 것으로 축소될 수 있습니다.
. (5.92) 최소화 문제는 다음과 같이 공식화됩니다.
그리고 이는 부분 도함수를 0으로 동일시한 결과로 형성된 방정식 시스템을 푸는 것으로 귀결됩니다.
; . 변환 후 우리는 다음을 얻습니다. 체계선형 대수 방정식:
; 
; 어디, 
.
; 
; 연속적인 형태로 제시됨 체계아날로그 및 하이브리드 컴퓨터에서는 상대적으로 해결하기 쉽습니다.
물체의 불연속성과 관련된 어려움
이 문제에 대한 해결책은 정보를 얻는 대상이나 방법이 개별적일 때 더욱 복잡해집니다. 여기서는 현대 컴퓨터의 수학적 소프트웨어의 일부인 특수 서브루틴이 사용되는 수치 적분 및 미분과 관련된 추가 오류가 발생합니다. 수치 미분의 오류는 원래 신호를 평활화하는 특별한 방법을 사용하여 줄일 수 있습니다.
동적 비선형 모델의 적응적 식별
모델의 수학적 설명
이제 동적 비선형 모델의 적응적 식별 사례를 살펴보겠습니다. 알 수 없는 매개변수를 가진 알려진 함수라고 합시다. 
.
방정식 시스템 
주어진 초기 조건과 식별된 매개변수의 고정 값 하에서 AVM의 연속 형식으로 해결되거나 디지털 컴퓨터에서 수치적으로 통합됩니다(예: Runge-Kutta 방법 사용). 결과 솔루션
관찰된 값과 비교되어 결과 형태의 잔차가 생성됩니다.
필수 매개변수에 따라 최소화됩니다. 
.
적응적 식별 방법을 사용하면 현재의 잔차가 다음과 같은 형식으로 표현됩니다. 
매 순간마다 최소화됩니다. 
.
해결 방법, 시스템 구조
이 문제는 검색 최적화 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다(그림 5.17).
쌀. 5.17 검색식별의 구조도
동시에, 우리는 최소화 블록 알고리즘의 구체적인 구현을 다루지 않습니다. 왜냐하면 문제의 공식화, 실제 객체의 속성에 의존하고 복잡한 경우에는 많은 양의 계산 리소스가 필요할 수 있기 때문입니다. 시스템의 일반적인 구조(그림 5.17)와 관련하여 차별화 연산자가 존재하고 간섭(특히 고주파수)을 증가시킬 수 있으므로 적절한 방법과 장치를 사용해야 한다는 점에 유의해야 합니다. 원래 신호를 평활화하기 위한 것입니다.
앤티앨리어싱 및 필터링 문제
일반적인 문제
일반적인 경우 스무딩 및 필터링 문제는 매우 복잡하며 이에 대한 많은 작업이 수행되었으며 이에 대한 검토는 이 매뉴얼의 범위를 벗어납니다. 이 문제의 주요 작업은 간섭을 가장 잘 억제하는 평활 필터 연산자를 선택하여(주파수 특성을 포함한 통계적 특성을 알아야 함) 유용한 신호를 최소한으로 왜곡하는 것입니다.
간섭과 원하는 신호 사이에 상당한 차이가 있는 경우
가장 간단한 경우, 유용한 신호의 주파수 특성과 간섭이 크게 다른 경우, 이 문제는 예를 들어 1차 미분 방정식으로 설명되는 관성 링크를 통해 원래 신호를 전달함으로써 해결될 수 있습니다.
. (5.93) 이러한 필터의 구현 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 5.18. 또한 매개변수 설정을 위한 미분 방정식과 관계, 계단형 입력 신호에 대한 응답, 원래 신호를 평활화된 신호로 변환하는 두 가지 예를 보여줍니다.
, 이로 인해 훨씬 더 복잡한 필터 구조를 선택해야 할 수도 있지만 이 작업은 우리가 고려할 범위를 벗어납니다.
비모수적 모델 식별
객체 동작에 대한 설명
이제 펄스(가중치) 천이함수, 진폭, 위상 특성의 형태로 표현될 수 있는 비모수적 모델의 경우 식별 방법에 대해 살펴보겠습니다. 선형 동적 물체의 특성은 단일 임펄스 외란에 대한 반응에 의해 고유하게 결정되는 것으로 알려져 있습니다(그림 5.6a 참조). 이 경우 객체의 동작은 컨볼루션 적분으로 설명됩니다.
확률론적 사례에 대한 알고리즘
유용한 신호와 함께 물체의 입력에 잡음이 적용될 때 확률론적 경우에 대한 이 방정식의 유사체는 통계 역학 방정식(5.57)입니다. 
, 여기서는 입력의 자기상관함수와 출력과 입력의 상호상관함수에 의해 각각 입력과 출력신호의 역할이 수행된다.
비모수적 모델에서 매개변수적 형태의 모델로 전환하는 경우를 포함하여 이러한 문제는 섹션 3에서 더 자세히 논의됩니다. 여기서 우리는 식별 방법 아이디어의 무결성을 이유로 그들에게 의지했습니다.
선형 모델을 통한 비선형 동적 객체 표현
이런 종류의 주목할만한 모델
아래에서는 비선형 동적 객체가 식별 가능한 매개변수에 대해 선형인 모델로 표현될 수 있는 경우를 고려할 것입니다. 이 경우 비교적 간단하면서도 효과적인 식별 알고리즘을 구축할 수 있다. 이런 종류의 모델 중에서 Volterra와 Hammerstein의 모델이 강조되어야 합니다.
볼테라 모델
Volterra의 모델은 비선형 동적 시스템의 출력을 나타내는 그의 이름을 딴 계열과 연관되어 있습니다.
. (5.96) Volterra 계열은 Taylor 계열의 기능적 일반화이며, 첫 번째 항은 물체의 선형 동적 특성을 반영하고, 두 번째 항은 2차, 세 번째 입방체 등을 반영합니다.
식별을 쉽게 하기 위해 이 문제를 특정 기능 시스템에 대한 확장의 형태로 매개변수 형식으로 제시하는 것이 좋습니다. 선형 부분을 다음과 같이 표현해 보겠습니다.
, 그리고 비선형 – 형식:
. 이 식을 (5.96)으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
. (5.97) 여기서
따라서 식별 문제는 전체 개수인 확장 매개변수(5.97)를 결정하는 것으로 축소됩니다.
이 경우 적분 잔차는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
. 이전 사례와 마찬가지로 이를 최소화하는 문제는 선형 대수 방정식 시스템으로 귀결되며 여기에는 구체적인 구현이 제공되지 않습니다.
프로세스에 맞춰 식별을 수행하거나 순차적으로 도착하는 정보를 사용하는 경우 적응 식별 알고리즘이 더 편리합니다. 이 경우 지역적 불일치가 발생합니다.
쌀. 5.19 확률론적 객체의 표현
확률성과 측정 정확도의 관계
따라서 객체의 확률성은 입력 및 출력 측정의 정확성과 연관되는 반면, 식별된 연산자는 결정론적이라고 가정됩니다. 실제로는 객체 연산자(내부 노이즈)에도 랜덤 노이즈가 포함될 수 있습니다.
. (5.98) 이 사실을 고려하려면 물체와의 간섭 상호 작용의 성격, 즉 구조를 알아야 합니다. 그러한 정보가 없는 경우가 많으므로 개체의 입력 및 출력에 간섭을 가져오는 것이 좋습니다. 그 결과 다음과 같은 결과가 나타납니다.
. (5.99) 이러한 근사 표현 (5.98)은 대부분의 문제에 대해 정당화되는 것으로 나타났습니다. 식별 작업은 객체의 입력과 출력의 실제 값, 즉 측정된 값과 에 대한 정보를 기반으로 연결하는 모델 연산자(이상적으로는 가까운)를 결정하는 것입니다.
간섭 필터링
이러한 연산자를 합성하는 문제를 해결하는 일반적인 접근 방식은 노이즈 필터링으로, 경우에 따라 측정된 값을 실제 값에 더 가깝게 만드는 것이 가능합니다. 이를 위해 주로 간섭의 특성과 유용한 신호와의 관계에 따라 선택되는 필터링 방법 중 하나를 사용할 수 있습니다.
노이즈의 특성으로 인해 특정 허용 수준으로 필터링할 수 있는 경우 결정론적 동적 개체의 경우와 동일한 방식으로 추가 식별을 수행할 수 있습니다. 그러나 간섭을 효과적으로 필터링하려면 해당 속성을 알아야 하기 때문에 이 접근 방식이 항상 가능한 것은 아닙니다. 또한, 유용한 신호와 간섭의 스펙트럼 특성이 가까운 경우 간섭과 함께 물체의 속성에 대한 정보를 전달하는 유용한 신호를 필터링할 수 있습니다. 이러한 경우에는 잡음 평균화 또는 특정 유형의 테스트 영향 선택을 기반으로 하는 다른 방법을 사용해야 합니다. 첫 번째 접근 방식과 관련된 이러한 방법 중 하나는 섹션 5.3(통계 역학 방정식 및 그 적용 참조)에서 논의되었으며, 여기서 우리는 결정론적 사례(또는 이에 가까운)에 테스트 효과를 적용하는 문제도 다루었습니다. 상당한 수준의 간섭이 있는 경우 이 문제는 훨씬 더 복잡해집니다. 테스트 신호의 특성을 선택하려면 물체의 속성과 간섭을 고려해야 하기 때문입니다.
