rumah > Kerusakan > Identifikasi parametrik. Masalah identifikasi dan pendekatan untuk solusinya. Identifikasi parametrik objek stokastik


Identifikasi parametrik. Masalah identifikasi dan pendekatan untuk solusinya. Identifikasi parametrik objek stokastik




Identifikasi parametrik objek linier

Tujuan kuliah:

Untuk mempelajari metode identifikasi parametrik objek linier (objek deterministik statis dan dinamis).

Kami menganggap objek linier atau objek yang, dengan ukuran perkiraan yang cukup, dapat dianggap linier. Dalam kasus parametrik, model ditentukan oleh sekumpulan parameter yang perlu diestimasi selama proses identifikasi. Untuk memahami prosedur meminimalkan fungsi residual, pertama-tama mari kita perhatikan kasus deterministik statis.

14.1 Model linier deterministik statis

Model tanaman linier dengan n input dan m output memiliki struktur yang unik dan dijelaskan oleh sistem persamaan aljabar linier

m(n+1) koefisien c ij , i =1,..., m diidentifikasi; j = 0,…, n.

Dalam bentuk vektor, sistem ini memiliki bentuk

Di mana X = (X 1 , X 2, ,…, X N ) - pintu masuk; Y = (y 1 , y 2, ,…, y N ) - KELUAR; C 0 = (c 10 , …, c m 0);

Informasi tentang objek dapat direpresentasikan sebagai (X j , Y j k ), k =1,…,m, .

C 0 dan C diidentifikasi.

Pertimbangkan kasus n>1, m=1. Kasus m>1 direduksi menjadi pengulangan m-kali lipat dari kasus yang dipertimbangkan.

Jadi, atau

(n+1) koefisien yang tidak diketahui diperkirakan berdasarkan informasi (X j , Y j ), j =1,…,N, dimana X j =(x 1 j , x 2 j , …, x nj) - keadaan input ke-j, Yj – reaksi terhadap input ini.

Pendekatan yang biasa dilakukan untuk memecahkan masalah ini adalah menyamakan output dari objek dan model

, (14.1)

Mendapat N persamaan dengan (n+1) yang tidak diketahui (sistem persamaan identifikasi). Sistem ini memiliki solusi yang unik jika pangkat matriksnya

sama dengan (n+1).

(14.2)

Hal ini dimungkinkan jika (n + 1) baris bebas linear dari matriks ini ditemukan. Oleh karena itu, dari N pasangan, seseorang harus memilih (n + 1) baris yang bebas linier:

Dalam hal ini, solusi (14.1) menentukan nilai pasti dari parameter yang diidentifikasi (jika objeknya benar-benar linier).

Namun, metode ini tidak menggunakan semua informasi asli. Mari kita gunakan. Mari perkenalkan residu:

dimana perbedaan lokal (pada pasangan ke-i).

Masalah estimasi parameter C sekarang dapat direpresentasikan sebagai masalah meminimalkan perbedaan (14.3), yaitu direduksi menjadi sistem persamaan aljabar linier:

(14.4)

Determinan sistem ini tidak sama dengan nol jika pangkat (14.2) sama dengan (n+1).

Solusi sistem (14.1) dan (14.4) bertepatan. Mengapa menggunakan metode yang lebih rumit ini, terutama karena (14.1) hanya membutuhkan (n+1) poin? Mengapa sisaN - (n + 1) poin? Jika objeknya benar-benar deterministik dan linier, maka poin-poin ini tidak diperlukan dan metode kedua tidak boleh digunakan. Namun, mungkin saja objeknya hampir linier. Kemudian diperoleh model yang sangat kasar dari dua titik. Cara kedua, seolah-olah, "meluruskan" objek.

Bagaimana jika peringkat sistem (14.4) kurang dari (n+1)? Pada kasus ini:

1. Ulangi pengukuran (mungkin status sistem tidak cukup beragam di awal). Jika gagal lagi, maka ubah struktur modelnya.

2. Kurangi jumlah parameter yang teridentifikasi, yaitu menghilangkan pertimbangan salah satu input, misalnya yang sedikit berubah. Dan sampai pangkat (14.2) cocok dengan dimensinya .

Pembaca yang budiman. Saat ini, banyak perhatian diberikan pada proses identifikasi sistem dinamik. Banyak disertasi, diploma, dan publikasi ilmiah telah ditulis tentang topik ini. Dalam berbagai literatur banyak ditulis tentang identifikasi, berbagai model dan metode diberikan. Tetapi semua ini bagi orang awam menjadi jelas tidak sekaligus. Pada artikel ini saya akan mencoba menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah identifikasi parametrik, ketika sistem teknis (objek) dijelaskan oleh sistem persamaan diferensial, menggunakan metode kuadrat terkecil.

Sedikit teori

Pertama, Anda perlu memahami apa itu sistem dinamis. Sederhananya, ini adalah sistem yang parameternya berubah seiring waktu. Baca selengkapnya. Hampir semua sistem dinamik dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial dari beberapa urutan, misalnya:

Sistem persamaan diferensial ini dicirikan oleh parameternya sendiri. Dalam kasus kami, ini A, B, C Dan D. Mereka bisa statis atau dinamis.

Apa arti koefisien ini?

Sebagaimana diterapkan pada sistem dinamik fisik nyata, koefisien persamaan diferensial ini memiliki referensi fisik tertentu. Misalnya, dalam sistem kontrol sikap dan stabilisasi pesawat ruang angkasa, koefisien ini dapat memainkan peran yang berbeda: koefisien stabilitas statis pesawat ruang angkasa, koefisien efisiensi kontrol onboard, koefisien kemampuan untuk mengubah lintasan, dll. Baca selengkapnya.


Jadi inilah tantangannya identifikasi parametrik ini adalah definisi dari koefisien parameter yang sama A, B, C Dan D.

Tugas observasi dan pengukuran

Perlu dicatat bahwa untuk menyelesaikan masalah identifikasi parametrik, perlu untuk mendapatkan "pengukuran" dari satu (atau semua) koordinat fase (dalam kasus kami, ini adalah x 1 dan (atau) x 2).

Agar suatu sistem dapat diidentifikasi, ia harus dapat diamati. Artinya, peringkat matriks keteramatan harus sama dengan urutan sistem. Pelajari lebih lanjut tentang keteramatan.

Pengamatan proses yang terjadi pada objek terjadi sebagai berikut:

  • pada- vektor parameter yang diamati;
  • H- matriks koneksi parameter negara dan parameter yang diamati;
- komponen interferensi (semua kesalahan pengamatan tersembunyi di dalamnya);

Lebih lanjut tentang vektor dan matriks

Sistem dinamis yang kami jelaskan di atas dapat direpresentasikan dalam bentuk vektor-matriks:
Di mana:

- komponen interferensi.


Pengukuran proses yang terjadi pada suatu objek digambarkan sebagai berikut:

Seperti yang dapat kita lihat, kesalahan pengukuran dapat bersifat aditif (dalam kasus pertama) dan perkalian (dalam kasus kedua)

tugas identifikasi

Pertimbangkan solusi dari masalah identifikasi parametrik jika satu koefisien tidak diketahui. Mari beralih ke contoh spesifik. Biarkan sistem berikut diberikan:

Dapat dilihat bahwa parameternya sama b = 1, c = 0,0225 Dan d = -0,3. Parameter A tidak diketahui oleh kami. Mari kita coba memperkirakannya menggunakan metode kuadrat terkecil.

Tugasnya adalah sebagai berikut: menurut data sampel pengamatan sinyal keluaran yang tersedia dengan interval pengambilan sampel Δt diperlukan untuk memperkirakan nilai parameter yang memberikan nilai minimum perbedaan fungsional antara model dan data aktual.

Di mana perbedaannya, didefinisikan sebagai perbedaan antara output objek yang diteliti dan respons yang dihitung dari model matematika objek tersebut.

Perbedaan tersebut terdiri dari ketidakakuratan dalam struktur model, kesalahan pengukuran, dan interaksi yang tidak diperhitungkan antara lingkungan dan objek. Namun, terlepas dari sifat kesalahan yang terjadi, metode kuadrat terkecil meminimalkan jumlah residu kuadrat untuk nilai diskrit. Pada prinsipnya, LSM tidak memerlukan informasi apriori apapun tentang gangguan tersebut. Tetapi agar perkiraan yang diperoleh memiliki sifat yang diinginkan, kita akan mengasumsikan bahwa derau adalah proses acak dari jenis derau putih.

Estimasi kuadrat terkecil kriteria meminimalkan J, ditemukan dari kondisi keberadaan minimum fungsional:

Sifat penting dari perkiraan LSM adalah adanya hanya satu minimum lokal yang bertepatan dengan minimum global. Karena itu, skornya unik. Nilainya ditentukan dari kondisi ekstrem fungsional J:

Artinya, perlu untuk mengambil turunan dari fungsi sehubungan dengan A dan samakan dengan nol.

Saya menarik perhatian Anda pada fakta bahwa - ini adalah nilai "terukur" dari koordinat fase dan (atau) , dan - ini adalah koordinat fase dan (atau) dihitung menurut model matematika objek. Tetapi dalam model objek yang disajikan dalam bentuk sistem persamaan diferensial, mereka tidak dinyatakan secara eksplisit. Untuk menghilangkan kegilaan ini, sistem persamaan diferensial ini perlu diselesaikan dengan kondisi awal tertentu.

Anda dapat menyelesaikan keduanya "secara manual" dan menggunakan perangkat lunak apa pun. Solusi di MatLab akan ditampilkan di bawah ini. Hasilnya harus berupa sistem persamaan aljabar untuk setiap momen waktu:


Kemudian, dengan mengganti nilai koordinat fase "terukur", kami menemukan estimasi parameter untuk setiap momen waktu .

Di mana saya bisa mendapatkan nilai "terukur" dari koordinat fase ini?

Secara umum, nilai-nilai ini diambil dari percobaan. Tetapi karena kami tidak melakukan eksperimen apa pun, kami akan mengambil nilai-nilai ini dari solusi numerik sistem persamaan diferensial kami dengan metode Runge-Kutta dengan urutan 4-5. Mari kita pilih parameternya

Kami menemukan solusinya menggunakan fungsi bawaan dari paket MatLab. Baca selengkapnya. Solusi untuk metode ini ditunjukkan di bawah ini.

% menunjukkan jenis variabel
sims x(t) y(t) a
% memecahkan sistem untuk kondisi awal tertentu
S = dsolve(diff(x) == a*x + 1*y,"x(0)=20", diff(y) == 0,0225*x - 0,3*y,"y(0)=20") ;
% kami memilih solusi koordinat fase pertama, karena ada dalam persamaannya
% berisi parameter yang diinginkan a
x(t) = S.x;
% kita menemukan turunan parsial dari persamaan pertama sehubungan dengan parameter a (in
% menurut metode LSM)
f=diff(x(t),"a");
% sekarang mari kita sederhanakan sedikit ekspresi yang dihasilkan
S1=sederhanakan(f);
% atur variabel t ke array nilai T
t=T;
% temukan ekspresi yang mengandung parameter a untuk setiap momen waktu
SS=eval(S1);
% sekarang dalam satu lingkaran, mengganti di setiap ekspresi nilai "diukur"
% dari koordinat fasa pertama, kita tentukan parameter a untuk setiap momen
% dari waktu T. Kami mengambil nilai koordinat fase "terukur" dari solusi SDE
% dengan metode Runge-Kutta urutan ke-4
untuk i=2:81
SSS(i)=selesaikan(SS(i)==X(i,1),a);
akhir
ist=nol(panjang(T),1);
ist(1:panjang(T))=-0,7;
angka; plot(T,SSS,"b--",T,ist,"r-");
legenda ("evaluasi parameter a", "nilai sebenarnya");
kisi aktif;



Di grafik bertitik biru baris menunjukkan perkiraan parameter , dan padat berwarna merah garis langsung menunjukkan nilai "sebenarnya" dari parameter model . Kami melihat bahwa sekitar 3,5 detik proses menjadi stabil. Sedikit perbedaan antara estimasi parameter dan nilai "benar" disebabkan oleh kesalahan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan metode Runge-Kutta.

Komputer digital telah membuka peluang besar untuk menggunakan informasi yang diambil dari objek untuk meningkatkan kualitas kontrol atau karakteristik pengontrol. Sistem penyetelan sendiri dan adaptif banyak digunakan, di mana penyesuaian otomatis parameter sistem diimplementasikan berdasarkan analisis dan pemrosesan informasi tentang efektivitas proses pengaturan.

Beras. 9.1. Skema umum sistem kontrol adaptif (r, u - input, - parameter).

Blok pertama adalah objek nyata, deskripsi persisnya tidak diketahui. Blok ke-2 adalah deskripsi yang kurang lebih akurat, yang ke-3 adalah hukum kontrol.

Model (blok ke-2) adalah perkiraan dan objek berubah seiring waktu. Memperbaiki model disebut identifikasi (meningkatkan akurasinya). Identifikasi memiliki 2 sisi:

struktural;

parametrik.

Identifikasi struktural mengacu pada perkiraan struktur model dengan yang asli sehingga paling mencerminkan objeknya. Karena objek bisa sangat berbeda (mekanis, ekologis, dll.), Tidak mungkin menghasilkan metode formal untuk identifikasi struktural.

Blok ke-4 (Gambar 9.1) mencerminkan identifikasi parametrik. Identifikasi parametrik adalah perbaikan nilai-nilai parameter model guna meningkatkan akurasi model. Akurasi selalu dipahami sebagai perbedaan antara apa yang diprediksi dan apa yang kita dapatkan.

Blok ke-5 (Gambar 9.1) melakukan adaptasi parameter pengontrol.

Adaptasi berarti menyesuaikan parameter pengontrol, belajar mandiri. Parameter pengontrol bergantung pada parameter objek dan biasanya dinyatakan dalam istilahnya. Awalnya, parameter suatu objek tidak selalu diketahui dengan tingkat akurasi yang memadai atau "melayang" pada waktunya, yang memaksa seseorang untuk melakukan adaptasi. Oleh karena itu, adaptasi - perubahan karakteristik pengontrol - biasanya didahului dengan prosedur penyempurnaan karakteristik objek berdasarkan hasil pengukuran nilai input dan output, yang disebut identifikasi. Masalah identifikasi dan adaptasi telah berkembang secara dramatis dalam 25-30 tahun terakhir, karena pesatnya pertumbuhan sumber daya pengontrol digital dengan penurunan biaya secara bersamaan.

Fitur pembeda utama sistem adaptif dari sistem dengan parameter konstan adalah bahwa mereka dapat secara otomatis beradaptasi dengan perubahan kondisi eksternal dan dapat dilatih dengan menyesuaikan pengontrol. Ada dua cara utama untuk menyesuaikan pengontrol.

Jika sifat dinamis yang berubah dari objek tersedia untuk dikontrol oleh faktor eksternal terukur dan diketahui bagaimana pengontrol harus disetel tergantung pada parameter objek, maka Anda dapat menggunakan metode penyetelan langsung atau adaptasi loop terbuka.

Beras. 9.2. (A - adaptor, P - regulator, O - objek).

Jika karakteristik objek tidak dapat diukur dan dievaluasi secara langsung, maka adaptasi loop tertutup (dengan umpan balik) digunakan. Dalam hal ini, loop kontrol kedua dimasukkan ke dalam sistem, yang mengontrol bukan perilaku objek, tetapi struktur dan parameter pengontrol.

Pengontrol umpan balik adaptif dapat dibagi menjadi dua kelas: pengontrol yang menstabilkan diri sendiri dan pengontrol model referensi.

Dalam sistem self-tuning, ada pengidentifikasi yang secara konstan menentukan parameter objek, dan korektor pengontrol, yang, berdasarkan kriteria optimalitas tertentu, membandingkan nilai parameter objek saat ini dengan yang berdasarkan mana pengontrol berfungsi, memutuskan untuk mengubah karakteristik pengontrol dan mengimplementasikan keputusan ini.

Sistem ini dapat dibagi menjadi beberapa tahapan:

1. Identifikasi suatu objek atau sistem secara keseluruhan.

2. Perhitungan koreksi pengontrol.

3. Koreksi (penyetelan) regulator, mengubah strukturnya.

Identifikasi sistem pesawat

Pembentukan model berdasarkan hasil pengamatan dan kajian sifat-sifatnya pada hakekatnya merupakan muatan utama ilmu pengetahuan. Model ("hipotesis", "hukum alam", "paradigma", dll.) Kurang lebih dapat diformalkan, tetapi semuanya memiliki fitur utama yang menghubungkan pengamatan ke dalam gambaran umum tertentu. Solusi dari masalah membangun model matematika dari sistem dinamis berdasarkan data pengamatan perilaku mereka adalah subjek dari teori identifikasi, yang dengan demikian menjadi elemen metodologi ilmiah umum. Dan karena kita "dikelilingi" oleh sistem dinamis, metode identifikasi sistem memiliki aplikasi yang luas. Tujuan dari bagian ini adalah. untuk memberikan gambaran minimal tentang metode identifikasi yang tersedia, alasan, properti, dan aplikasinya.

Sistem dinamis

Berbicara secara longgar, sistem adalah objek di mana interaksi antara variabel heterogen terjadi dan sinyal yang dapat diamati terbentuk.

Sinyal yang diamati menarik bagi kami biasanya disebut sinyal output. Semua sinyal lain disebut sinyal input dan gangguan, dan gangguan dapat dibagi menjadi dua kelas: gangguan yang diukur secara langsung dan gangguan yang hanya dapat diperkirakan secara tidak langsung oleh pengaruhnya terhadap sinyal keluaran.

Gambar 3.2 Pergerakan kapal secara mendatar Gambar. 3.3 Sistem dinamika kemudi

pesawat (δ-perintah di roda kemudi, kontrol (δ-sinyal input, ψ-output

ψ - sudut heading) sinyal, υ - interferensi tidak terukur)

Beras. 3.4. Data input-output untuk sistem dinamika kemudi kapal (interval antara pengukuran -10 detik.)

Contoh Dinamika kontrol kapal.

Pergerakan kapal terjadi di bawah pengaruh gaya traksi baling-baling dan bergantung pada posisi kemudi, kekuatan dan arah angin serta gelombang. Lihat gbr. 3.2. Sebagai sub-masalah, kita dapat mempertimbangkan masalah khusus tentang ketergantungan haluan kapal (arah pergerakan haluan) pada posisi kemudi pada gaya traksi konstan. Sistem ini ditunjukkan pada Gambar. 3.3. Rekaman data pengamatan ditunjukkan pada gambar. 3.4. Durasi interval pengamatan adalah 25 menit, pengukuran dilakukan setiap 10 detik.

Prosedur identifikasi sistem. Tiga komponen utama

Membangun model dari data observasi memiliki tiga komponen utama.

1.Data.

2. Banyak calon model.

3. Aturan untuk menilai tingkat kesesuaian model yang diuji dengan data observasi
Mari kita komentari masing-masing komponen ini.

1. data pengamatan. Data input-output terkadang direkam dalam proses melakukan percobaan identifikasi yang ditargetkan, saat pengguna dapat menentukan daftar dan momen pengukuran sinyal, dan beberapa sinyal input dapat dikontrol. Tugas merencanakan percobaan
Komoditi, oleh karena itu, terdiri dari fakta bahwa, dengan mempertimbangkan kemungkinan batasan,
pilih data yang paling informatif tentang sinyal sistem. Dalam beberapa kasus
teh, pengguna mungkin kehilangan kesempatan untuk mempengaruhi jalannya percobaan dan
harus didasarkan pada data operasi normal.

2. Banyak model. Seperangkat model kandidat ditetapkan melalui
dengan memperbaiki grup model yang akan kita cari
yang paling cocok. Tidak diragukan lagi, ini adalah yang paling penting dan sekaligus paling penting
bagian yang sulit dari prosedur identifikasi. Pada tahap inilah pengetahuan formal
sifat model harus dikombinasikan dengan pengetahuan apriori, teknik
seni dan intuisi. Banyak model yang terkadang hasil dari kehati-hatian
pemodelan, setelah itu, berdasarkan hukum fisika dan lainnya yang dapat diandalkan
pengetahuan, model dibentuk yang meliputi parameter fisik dengan belum ditentukan
nilai-nilai. Kemungkinan lain adalah, tanpa fisik apapun
siapa pembenaran untuk menggunakan model linier standar. Banyak seperti itu
model yang parameternya dianggap terutama sebagai variabel
cara menyesuaikan model dengan data yang tersedia dan tidak mencerminkan fisika proses,
ditelepon kotak hitam. Banyak model dengan parameter yang dapat disesuaikan,
memungkinkan interpretasi fisik disebut kotak abu-abu.

3. Penentuan model himpunan “terbaik” berdasarkan data observasi.
Bagian ini sebenarnya metode identifikasi. Evaluasi kualitas model terkait,
sebagai aturan, dengan mempelajari perilaku model dalam proses penggunaannya untuk reproduksi
produk dari data pengukuran.

Validasi model. Sebagai hasil dari penerapan ketiga tahap prosedur identifikasi, kami memperoleh, setidaknya dalam bentuk implisit, model spesifik: satu dari sekian banyak, dan satu yang paling baik mereproduksi data pengamatan sesuai dengan kriteria yang dipilih.

Tetap memeriksa apakah modelnya "cukup baik", mis. apakah model memenuhi tujuannya. Pemeriksaan semacam itu dikenal sebagai prosedur validasi model. Ini termasuk berbagai prosedur untuk memperkirakan korespondensi model dengan data pengamatan, informasi apriori, dan seperangkat tujuan yang diterapkan. Kinerja model yang buruk pada masing-masing komponen ini menyebabkan kita meninggalkan model, sementara kinerjanya yang baik menciptakan tingkat kepercayaan model tertentu. Sebuah model tidak pernah dapat dianggap sebagai deskripsi definitif dan benar dari sebuah sistem. Sebaliknya, ini dapat dilihat sebagai cara untuk menggambarkan dengan cukup baik aspek-aspek perilaku sistem yang paling menarik bagi kita.

Garis besar identifikasi sistem. Prosedur identifikasi sistem menghasilkan logika tindakan alami berikut: (1) mengumpulkan data; (2) memilih satu set

model; (3) pilih model terbaik di set ini. Namun, cukup

Beras. 3.5. Lingkaran identifikasi sistem

kemungkinan besar model pertama yang ditemukan tidak akan tahan uji pada tahap konfirmasi. Maka Anda perlu kembali dan meninjau berbagai langkah prosedur. Ada beberapa alasan untuk model yang tidak sempurna:

Metode numerik tidak memungkinkan untuk menemukan model terbaik sesuai dengan kriteria yang dipilih;

Kriteria tidak berhasil dipilih;

Banyak model yang ternyata inferior dalam arti sebanyak ini
secara umum tidak ada deskripsi sistem yang "cukup baik";

Banyak data pengamatan tidak cukup informatif untuk
untuk memastikan pemilihan model yang baik.

Pada dasarnya, kunci untuk aplikasi identifikasi adalah iteratif
solusi dari semua pertanyaan ini, terutama yang ketiga, berdasarkan informasi apriori dan
hasil percobaan sebelumnya. Lihat gbr. 3.5.

Identifikasi parametrik objek.

Saat membangun model sistem teknis yang kompleks, kesederhanaan deskripsi matematis terkadang tidak kalah pentingnya dengan universalitas model dan kecukupannya dalam semua kondisi pengoperasian objek.

Dalam kondisi percobaan nyata, ketika informasi apriori tentang sistem yang diteliti, proses yang terjadi di dalamnya, dan gangguan yang ada seringkali tidak cukup untuk membenarkan pilihan algoritma identifikasi dan jenis model yang dibentuk, disarankan untuk memecahkan masalah di kelas model linier menggunakan algoritma estimasi "kasar".

Penggunaan algoritme identifikasi berdasarkan metode kuadrat terkecil, dibandingkan dengan yang lain, memberlakukan batasan minimal dan memungkinkan diperolehnya perkiraan yang andal dalam berbagai kondisi.

Deskripsi sistem linier.

Karena pemrosesan sinyal di komputer bersifat diskrit, sebaiknya menggambarkan sistem linier dan berdasarkan sinyal Z- transformasi. Dalam hal ini, proses kontinu dan respons sistem didiskritisasi dengan langkah jam T0. (Lihat Gambar 3.6).


k = t / T0

Transisi ke waktu diskrit k=t/T0 memungkinkan menggambarkan perilaku sistem linier menggunakan persamaan perbedaan.

Menggunakan konsep Z– operator, di mana , agak sederhana untuk merepresentasikan tautan kontinu.

Bentuk umum:

atau (berlawanan) dalam domain waktu:

Kembali ke domain waktu:


Persamaan diferensial dari sistem:

Di mana τ adalah penundaan murni.

Oleh karena itu, fungsi transfer memiliki bentuk:

Seperti disebutkan di atas, jumlah karya dan variasi metode identifikasi membuat hampir tidak mungkin untuk mengkarakterisasi mereka secara lengkap. Salah satu pendekatan rasional dalam kondisi ini adalah pemilihan metode identifikasi parametrik sesuai dengan orientasi targetnya, yaitu bergantung pada properti objek yang direfleksikan oleh model kelas tertentu. Rastrigin L.A. diusulkan, misalnya, klasifikasi model berikut dari sudut ini:

  1. statis atau dinamis;
  2. deterministik atau stokastik;
  3. linier atau non-linier;
  4. kontinyu atau diskrit.

Fitur klasifikasi metode

Saat menentukan jenis operator komunikasi antara input dan output suatu objek, tergantung pada propertinya, salah satu dari jenis model di atas dipilih, atau beberapa kombinasi di antaranya, yang, pada gilirannya, digunakan saat memilih yang paling sesuai. metode identifikasi parametrik, yang klasifikasinya didasarkan pada tanda-tanda berikut:

  1. aktivitas (metode pasif dan aktif);
  2. kemampuan beradaptasi (non-adaptif dan adaptif);
  3. discreteness (terus menerus dan diskrit, yaitu melangkah).

Seperti yang dapat dilihat dari klasifikasi di atas, jumlah kemungkinan kombinasi model dan metode cukup besar, tetapi tidak menghabiskan seluruh variasi situasi nyata, meskipun hal itu tentu saja memperkenalkan tujuan tertentu ke dalam proses pemilihan metode. Misalnya, identifikasi objek yang dijelaskan oleh model statis, deterministik, linier dilakukan dengan metode yang lebih sederhana daripada kasus model nonlinier stokastik dinamis. Karena ketidakmungkinan untuk mempertimbangkan semua kasus perantara, di bawah ini kami hanya akan fokus pada beberapa di antaranya, yang paling khas dalam kaitannya dengan objek metalurgi.

Identifikasi parametrik untuk kasus model deterministik statis

Mari kita asumsikan bahwa perilaku suatu objek dijelaskan oleh ketergantungan reguler yang menghubungkan input dan output objek :.

Maka model objek juga harus berupa fungsi reguler.

Mari kita pertama-tama mempertimbangkan kasus model linier suatu objek dengan input dan output, yang memiliki satu-satunya struktur yang mungkin dan dijelaskan oleh sistem persamaan aljabar linier:

di mana koefisien diidentifikasi

Fungsi objek yang tidak diketahui sebagai fungsi yang diketahui dengan parameter yang tidak diketahui.

Untuk menentukan parameter yang tidak diketahui, keadaan model dan objek disamakan untuk setiap pengamatan

Di mana, adalah jumlah parameter yang diestimasi.

Solusi analitis

Solusi dari sistem seperti itu (dalam kasus umum persamaan transendental) berkurang, seperti dalam kasus linier, menjadi masalah meminimalkan perbedaan total.

. (5.76) Jika struktur model dipilih dalam kelas fungsi terdiferensiasi, maka masalah ini direpresentasikan sebagai sistem persamaan dengan yang tidak diketahui:

Solusi analitik semacam ini dari masalah sering menghadirkan kesulitan komputasi yang signifikan, sehubungan dengan itu mereka beralih ke metode minimisasi pencarian. Untuk ini, proses berulang diatur , dimana langkah yang ditentukan oleh algoritma pencarian.

Dengan pilihan algoritme yang tepat, proses ini harus menyatu dengan nilai parameter yang tepat, yaitu ke solusi masalah (5.76)

Fitur metode identifikasi adaptif dalam kaitannya dengan model nonlinier

Pertimbangkan fitur metode identifikasi adaptif yang diterapkan pada model nonlinier.

Perbedaan lokal antara keluaran model dan objek memiliki bentuk berikut untuk kasus kontinu:

Meminimalkan kuadratnya dengan metode gradien menghasilkan algoritme berikut:

. (5.77) dimana.

Diagram blok yang mengimplementasikan algoritma ini ditunjukkan pada gambar. 5.15, yang dibandingkan dengan gambar. 5.14 menunjukkan bahwa algoritme terakhir berbeda dari kasus model linier dengan adanya konverter fungsional , yang dirancang untuk menentukan vektor

Beras. 5.15 Skema identifikasi adaptif untuk objek non-linier

Metode melangkah adaptif

Kasus yang dipertimbangkan berkaitan dengan algoritma identifikasi adaptif untuk objek kontinu. Mari kita sekarang memikirkan fitur-fitur metode langkah adaptif, yang disarankan untuk digunakan untuk objek diskrit (dengan metode diskrit untuk memperoleh informasi tentang keadaan objek). Perbedaan lokal dalam hal ini berbentuk:

. (5.78) dan algoritma berulang diwakili oleh rumus

. (5.79) dimana.

Parameter dipilih karena alasan mengoptimalkan operasi algoritma. Mari kita definisikan untuk kasus pembatas, ketika struktur model dan objek bertepatan, mis.

. (5.80) Mengganti dalam rumus (5.78) dan (5.79) relasi (5.80) dan ekspresi untuk parameter residual vektor , setelah beberapa transformasi kami memperoleh persamaan yang mencerminkan perubahan dalam proses identifikasi:

Maka ekspresi kuadrat dari sisa memiliki bentuk:

Dari kondisi meminimalkan ekspresi ini (dengan membedakan terhadap dan menyamakan dengan nol), nilai optimal dari parameter ditemukan:

. (5.81) Kemudian algoritma identifikasi langkah adaptif yang optimal mengambil bentuk:

. (5.82) Kami mendefinisikan untuk kasus ini. Mengganti (5.82) menjadi (5.78), kita mendapatkan :,

yaitu, perbedaan hampir lokal berkurang menjadi nol pada setiap langkah identifikasi.

Dengan identifikasi aktif, vektor pada setiap langkah dipilih sehingga saling ortogonal, yaitu

Dalam hal ini, proses identifikasi harus diselesaikan secara bertahap, tentunya jika kita berbicara tentang model deterministik, karena dengan adanya interferensi, laju konvergensi proses identifikasi sangat bergantung pada levelnya, yang akan ditampilkan. di bawah.

Identifikasi parametrik objek stokastik

Kasus objek stokastik statis

Pertama, pertimbangkan kasus objek stokastik statis, yang dapat direpresentasikan sebagai:

. (5.83) dimana vektor faktor acak dihasilkan baik oleh objek itu sendiri atau dengan cara mengumpulkan dan mengirimkan informasi.

Beras. 5.16 Tata letak objek dengan alias aditif

Untuk kesederhanaan, mari kita fokus pada objek seperti itu (Gbr. 5.16), di mana komponen reguler dan acak dapat dipisahkan, yaitu direpresentasikan sebagai:

. (5.84) dimana

Diasumsikan bahwa sifat-sifat komponen acak tidak bergantung pada input, yaitu mereka sepenuhnya diestimasi dengan kerapatan probabilitas tertentu, yang sering dianggap sebagai hukum normal.

Kemudian untuk objek dengan satu input , ketika , kerapatan distribusi normal dicirikan oleh dua parameter: ekspektasi matematis dan varians

Dalam kasus dua dimensi, normal hukum distribusi ditandai dengan lima parameter: dua nilai rata-rata

; dua perbedaan

. dan momen korelasi

.

prosedur dekorelasi

Identifikasi objek dengan beberapa keluaran secara signifikan lebih sulit jika terdapat korelasi interferensi yang bekerja pada keluaran yang berbeda. Kekurangan tersebut dapat diatasi dengan bantuan prosedur dekorelasi yang artinya adalah sebagai berikut.

Membiarkan dan berkorelasi variabel acak dengan rata-rata nol, perbedaan, dan momen korelasi , yang diasumsikan diketahui. Kami membentuk variabel acak baru dengan transformasi linier:

; .

. (5.87) Membandingkan ekspresi ini dengan relasi (5.81) untuk kasus deterministik, dapat dilihat bahwa konvergensi proses identifikasi adaptif untuk objek stokastik sangat bergantung pada properti statistik dari noise .

Perlu dicatat bahwa tidak mungkin untuk secara langsung menggunakan ungkapan ini untuk identifikasi adaptif, karena vektor residu parameter tidak diketahui pilihan model, yang kami coba evaluasi menggunakan algoritme yang diinginkan. Ini terlihat seperti lingkaran setan. Namun, kendala ini dapat dielakkan dengan mengganti dengan , yang berbeda dengan dan, oleh karena itu, rata-rata sama. Kemudian kira-kira kita memiliki:

Dan algoritme untuk identifikasi adaptif objek stokastik akan berbentuk sebagai berikut:

. (5.88)

Pertanyaan konvergensi untuk objek kontinu

Kasus identifikasi adaptif pasif telah dibahas di atas. Jika ada kemungkinan pengaruh aktif pada objek, maka pemilihan vektor ortogonal ke vektor sebelumnya mempercepat konvergensi proses, tetapi karena adanya interferensi, itu masih tidak menjamin penyelesaian identifikasi secara terbatas. jumlah langkah.

Untuk kasus objek dan metode kontinu, pertanyaan konvergensi algoritma diselesaikan lebih sederhana daripada metode bertahap. Konvergensi di sini disediakan di bawah kondisi dan variabilitas yang cukup dari vektor . Tingkat konvergensi berbanding lurus dengan , tetapi jika sangat besar, ketidakstabilan dapat terjadi. Diagram blok dari algoritma tidak berbeda dari yang ditunjukkan pada Gambar. 4.14 dan 5.15 masing-masing untuk model linear dan non-linear.

Model Dinamis

Model parametrik dan non-parametrik

Mari kita pertimbangkan metode untuk mengidentifikasi objek yang operatornya memiliki memori, yaitu, output pada suatu saat tidak mencerminkan keadaan input saat ini seperti nilainya pada waktu sebelumnya.

Seseorang harus membedakan antara model objek parametrik dan non-parametrik. Dalam kasus pertama model ditentukan oleh seperangkat parameter (koefisien) yang dievaluasi selama proses identifikasi. Nonparametrik model ditentukan, dalam kasus umum, oleh fungsi kontinu (paling sering fungsi waktu). Namun, itu juga dapat diberikan oleh poin atau sebagai perluasan ke dalam rangkaian dalam beberapa sistem fungsi. Dalam kasus terakhir, kami kembali ke model parametrik.

Model parametrik linier untuk kasus satu dimensi

Model parametrik linier untuk kasus satu dimensi adalah bentuk persamaan diferensial biasa

. (5.89) Seringkali ini model akan lebih mudah untuk menulis dalam bentuk sistem persamaan diferensial, di mana variabel baru diperkenalkan

Akibatnya, kita dapatkan sistem persamaan bentuk:

. (5.90) ​​​​Dalam bentuk vektor, ini model seperti:

Model parametrik linier dengan input lebih dari satu

Ketika jumlah input lebih besar dari satu untuk kasus model linier, vektor keadaan dibentuk sebagai jumlah dari vektor:

Dimana vektornya mencerminkan keadaan input tersebut.

Maka persamaan sistem dinamik linier dengan beberapa masukan berbentuk :

Informasi awal untuk identifikasi adalah keadaan input dan output objek dalam interval waktu.

Seperti pada kasus sebelumnya, masalah identifikasi dapat direduksi menjadi meminimalkan fungsi residual dalam bentuk kuadrat selisih ruas kanan dan kiri persamaan (5.89) saat mensubstitusikan fungsi dan observasi objek ke dalamnya.

. (5.92) Masalah minimisasi dirumuskan sebagai

Dan intinya adalah menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan dari menyamakan turunan parsial dengan nol:

; . Setelah transformasi, kami mendapatkan yang berikut ini sistem persamaan aljabar linier:

; ; Di mana, .

; ; Dalam bentuk kontinu yang disajikan sistem relatif mudah dipecahkan pada komputer analog dan hybrid.

Kesulitan yang terkait dengan diskrititas objek

Solusi dari masalah ini diperumit oleh sifat diskrit dari objek atau metode untuk memperoleh informasi. Di sini ada kesalahan tambahan yang terkait dengan integrasi dan diferensiasi numerik, yang menggunakan subrutin khusus, yang merupakan bagian dari perangkat lunak matematika komputer modern. Kesalahan diferensiasi numerik dapat dikurangi dengan menggunakan metode khusus untuk menghaluskan sinyal asli.

Identifikasi adaptif dari model nonlinier dinamis

Deskripsi matematis model

Mari kita sekarang memikirkan kasus identifikasi adaptif dari model nonlinier dinamis. Biarkan menjadi fungsi yang diketahui dengan parameter yang tidak diketahui .

Sistem persamaan diselesaikan baik dalam bentuk berkelanjutan pada AVM atau terintegrasi secara numerik pada komputer (misalnya, dengan metode Runge-Kutta) di bawah kondisi awal tertentu dan nilai tetap dari parameter yang diidentifikasi. Larutan

Ini dibandingkan dengan nilai yang diamati , dan perbedaan bentuk yang dihasilkan

diminimalkan tergantung pada parameter yang diinginkan .

Dengan metode identifikasi adaptif, perbedaan pada saat ini direpresentasikan sebagai dan diminimalkan setiap saat .

Metode solusi, struktur sistem

Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pengoptimalan pencarian (Gbr. 5.17).

Beras. 5.17 Diagram struktur identifikasi pencarian

Pada saat yang sama, kami tidak menyentuh implementasi spesifik dari algoritme blok minimalisasi, karena bergantung pada pernyataan masalah, properti objek nyata, dan mungkin memerlukan sumber daya komputasi yang besar dalam kasus yang kompleks. Berkenaan dengan struktur umum sistem (Gbr. 5.17), perlu dicatat bahwa keberadaan operator diferensiasi di dalamnya, yang mampu memperkuat kebisingan (terutama kebisingan frekuensi tinggi), mengarah pada kebutuhan untuk menggunakan metode dan perangkat yang tepat. untuk menghaluskan sinyal asli dan.

Masalah Anti-Aliasing dan Penyaringan

Masalahnya secara umum

Masalah perataan dan pemfilteran dalam kasus umum cukup kompleks, dan banyak karya dikhususkan untuk itu, ulasannya berada di luar cakupan tutorial ini. Tugas utama dalam masalah ini adalah memilih operator filter penghalusan yang paling baik menekan noise (properti statistiknya, termasuk frekuensi, harus diketahui), mendistorsi sinyal yang berguna hingga batas terkecil.

Kasus perbedaan yang signifikan antara interferensi dan sinyal yang berguna

Dalam kasus yang paling sederhana, ketika karakteristik frekuensi dari sinyal dan noise yang berguna berbeda secara signifikan, masalah ini dapat diselesaikan dengan melewatkan sinyal asli, misalnya, melalui tautan inersia yang dijelaskan oleh persamaan diferensial orde pertama.

. (5.93) Skema implementasi filter seperti itu ditunjukkan pada gambar. 5.18. Ini juga menunjukkan persamaan diferensial dan hubungan penyetelan parameternya, responsnya terhadap sinyal input bertahap, dan dua contoh konversi sinyal asli menjadi sinyal yang dihaluskan.

, yang dapat menyebabkan kebutuhan untuk memilih struktur filter yang jauh lebih kompleks, tetapi tugas ini berada di luar cakupan pertimbangan kami.

Identifikasi Model Nonparametrik

Deskripsi perilaku objek

Sekarang mari kita memikirkan metode identifikasi untuk kasus model nonparametrik, yang dapat direpresentasikan sebagai fungsi transisi impuls (bobot), karakteristik amplitudo dan fase. Diketahui bahwa sifat-sifat objek dinamis linier secara unik ditentukan oleh responsnya terhadap gangguan impulsif tunggal (lihat Gambar 5.6, a). Dalam hal ini, perilaku objek dijelaskan oleh integral konvolusi

Algoritma untuk kasus stokastik

Analog dari persamaan ini untuk kasus stokastik, ketika noise diterapkan ke input objek bersama dengan sinyal yang berguna, adalah persamaan dinamika statistik (5.57) , di mana peran sinyal input dan output masing-masing dimainkan oleh fungsi autokorelasi dari input dan fungsi korelasi timbal balik dari output dan input.

Isu-isu ini, termasuk untuk kasus transisi dari bentuk model nonparametrik ke parametrik, dibahas lebih rinci di Bagian 3; di sini kami beralih ke mereka dari sudut pandang integritas gagasan metode identifikasi.

Representasi Objek Dinamis Nonlinier dengan Model Linier

Model terkenal dari jenis ini

Di bawah ini kami akan mempertimbangkan kasus ketika objek dinamis nonlinier dapat direpresentasikan oleh model linier sehubungan dengan parameter yang diidentifikasi. Dalam hal ini, dimungkinkan untuk membangun algoritma identifikasi yang relatif sederhana dan pada saat yang sama cukup efektif. Di antara model semacam ini, model Volterra dan Hammerstein harus dipilih.

Model Volterra

Model Volterra dikaitkan dengan rangkaian yang dinamai menurut namanya, yang merupakan keluaran dari sistem dinamik nonlinier

. (5.96) Deret Volterra adalah generalisasi fungsional dari deret Taylor, suku pertamanya mencerminkan sifat dinamis linier objek, yang kedua - kuadratik, kubik ketiga, dll.

Untuk kemudahan identifikasi, adalah bijaksana untuk merepresentasikan masalah ini dalam bentuk parametrik sebagai perluasan dalam sistem fungsi tertentu. Kami mewakili bagian linier sebagai berikut:

, dan nonlinier - dalam bentuk:

. Mengganti ekspresi ini menjadi (5.96), kami memperoleh:

. (5.97) dimana

Masalah identifikasi dengan demikian direduksi menjadi penentuan parameter ekspansi (5.97), jumlah totalnya adalah

Perbedaan integral dalam hal ini memiliki bentuk sebagai berikut:

. Masalah minimalisasi, seperti dalam kasus sebelumnya, direduksi menjadi sistem persamaan aljabar linier, implementasi spesifiknya tidak kami sajikan di sini.

Jika identifikasi dilakukan dengan kecepatan proses atau informasi yang masuk secara berurutan digunakan, maka algoritme identifikasi adaptif lebih nyaman. Dalam hal ini, perbedaan lokal terbentuk

Beras. 5.19 Representasi objek stokastik

Hubungan antara stochasticity dan akurasi pengukuran

Stokastisitas suatu objek dengan demikian dikaitkan dengan keakuratan pengukuran input dan outputnya, sedangkan operator yang diidentifikasi diasumsikan bersifat deterministik. Pada kenyataannya, gangguan acak juga dapat masuk ke operator objek (gangguan internal), yaitu.

. (5.98) Untuk mempertimbangkan fakta ini, perlu diketahui sifat interaksi interferensi dengan objek, yaitu strukturnya. Seringkali tidak ada informasi seperti itu, jadi disarankan untuk membawa derau ke input dan output objek, sebagai akibatnya kita memiliki:

. (5.99) Perkiraan ekspresi (5.98) seperti itu ternyata dapat dibenarkan untuk sebagian besar masalah. Tugas identifikasi adalah menentukan operator model (dalam kasus ideal, mendekati), menghubungkan nilai sebenarnya dari input dan output objek, yaitu menurut informasi tentang nilai yang diukur dan .

Penyaringan kebisingan

Pendekatan umum untuk memecahkan masalah mensintesis operator semacam itu adalah pemfilteran derau, yang dalam beberapa kasus memungkinkan untuk memperkirakan nilai terukur dan nilai sebenarnya , . Untuk tujuan ini, salah satu metode pemfilteran dapat digunakan, yang dipilih terutama tergantung pada sifat interferensi dan hubungannya dengan sinyal yang berguna.

Jika sifat gangguan memungkinkan untuk disaring ke tingkat tertentu yang dapat diterima, maka identifikasi lebih lanjut dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus objek dinamis deterministik. Tetapi pendekatan seperti itu tidak selalu memungkinkan, karena untuk penyaringan interferensi yang efektif perlu diketahui sifat-sifatnya. Dalam hal ini, jika karakteristik spektral dari sinyal berguna dan derau dekat, maka bersama-sama dengan derau dimungkinkan untuk menyaring sinyal berguna yang membawa informasi tentang sifat-sifat objek. Dalam kasus seperti itu, perlu menggunakan metode lain yang didasarkan pada rata-rata kebisingan atau pada pilihan jenis paparan uji tertentu. Salah satu metode ini, terkait dengan pendekatan pertama, dipertimbangkan di bagian 5.3 (lihat persamaan dinamika statistik dan penerapannya), di tempat yang sama kami menyentuh masalah penerapan efek percobaan untuk kasus deterministik (atau yang mendekatinya). ). Di hadapan tingkat interferensi yang signifikan, masalah ini menjadi jauh lebih rumit, karena untuk memilih sifat sinyal uji, perlu mempertimbangkan sifat objek dan interferensi.